A aquisição do conhecimento se dá, em geral, por meio de situações e problemas já conhecidos, tendo características locais. Conseqüentemente, todo o conceito tem um domínio de validade restrito, que varia de acordo com a experiência e com o desenvolvimento cognitivo do aluno. A teoria dos campos conceituais considera que existe uma série de fatores que influenciam e interferem na formação e no desenvolvimento de conceitos e que o conhecimento deve emergir dentro de situação problema. O estudo desenvolvido de um campo conceitual, segundo esta teoria, requer que o pesquisador veja um conceito como formado por uma terna de conjuntos (S, I, R), em que:
S é o conjunto de situações que tornam o conceito significativo;
I é conjunto de invariáveis (objetos, propriedades e relações) que podem ser reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situações;
R é conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar esses invariantes e, portanto, representar as situações e os procedimentos para lidar com eles.
Os conceitos matemáticos traçam seus sentidos a partir de uma variedade de situações, e cada situação normalmente não pode ser analisada com a ajuda de apenas um conceito.
Não se pode, portanto, descrever e analisar os avanços e conquistas dos alunos no seu processo de aprendizagem e desenvolvimento sem considerar duas ferramentas essenciais que, juntas, formam as duas faces da moeda: competência e concepção. Problemas teóricos e práticos levam à formação de conceitos, enquanto conceitos explícitos e conhecimento implícito levam a formação de competência. A competência é traçada pela ação do aluno diante das situações (no caso resolução de problemas) e as concepções dos alunos podem ser traçadas por suas expressões verbais ou outras representações simbólicas (tais como escrita ou gesto). Dentro desse processo de formação e desenvolvimento de competências e concepções, o ensino é essencial e o professor tem um papel fundamental, pois é dele a responsabilidade de fazer escolhas adequadas para criar um ambiente favorável para o aluno avançar nesse processo.
Os teoremas-em-ação são um caminho para analisarmos as estratégias intuitivas dos alunos e ajuda-los na transformação do conhecimento intuitivo para o conhecimento explicito. Eles também nos dão um caminho para fazermos um diagnóstico do que os alunos sabem, ou não, de modo que possamos oferecer situações que lhes permitam consolidar seus conhecimentos, estende-los, perceber seus limites e superar eventuais dificuldades. Esse crescimento leva muitos anos, mas os professores devem estar consciente dos resultados, em longo prazo nos processos de ensino e aprendizagem.
